Heinrich ABEL, Esslingen

GPS: Global Positioning System –
Funktionsweise und mathematische Grundlagen

1. Historische Bemerkungen

Aufgabe des Global Positioning System ist die satellitengestützte Ortung von Objekten auf oder in der Nähe der Erde. Bei bewegten Objekten lässt sich darüber hinaus auch ihre Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung feststellen.

Das Global Positioning System, auch NAVSTAR (Navigation System with Time and Ranging) genannt, begann zunächst als militärisches Projekt, wird heute aber auch in zivilen Bereichen eingesetzt, z. B. bei der Navigation von Schiffen, Flugzeugen und Autos. Es ist die Weiterführung des Systems Transit, das die USA in den 60er Jahren als Reaktion auf die sowjetischen Erfolge in der Weltraumfahrt als erstes Navigationssystem auf Basis von Satellitenortung entwickelten. Allerdings hätten unerwartete technische und damit auch finanzielle Probleme zu Beginn der 90er Jahre fast zum Abbruch des Projekts geführt. Seit 1995 ist das System aber voll einsatzfähig.

Als allein von den USA finanziertes und betriebenes System lässt sich GPS jederzeit für zivile Anwendungen manipulieren und unbrauchbar machen. Tatsächlich wurden die Satellitensignale bis Mai 2000 für nichtmilitärische Anwendungen künstlich verfälscht, so dass nur eine eingeschränkte Genauigkeit zur Verfügung stand (Selective Availibility). Dem konnte aber auch im zivilen Bereich durch den Einsatz von DGPS (differenziellem GPS) begegnet werden.

2. Aufbau des Systems

GPS besteht aus einem Verbund von 24 Satelliten, die die Erde auf elliptischen (nahezu kreisförmigen) Bahnen in ca. 20200 km Höhe umrunden. Dabei bewegen sich je vier Satelliten auf sechs unterschiedlichen Bahnebenen, die um 55° gegen die Äquatorebene geneigt und gegeneinander um 60° versetzt sind. Nach dem 3. Keplerschen Gesetz (die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die Kuben der mittleren Entfernungen) ergibt sich – z. B. mit dem Erdmond als Referenzsatellit – für die GPS-Satelliten eine Umlaufzeit von nahezu 12 Stunden. Die GPS-Satelliten sind nicht geostationär! Aus dieser Anordnung folgt einerseits, dass sich zu jedem Zeitpunkt an jedem Ort der Erde mindestens vier Satelliten in brauchbarer Höhe über dem Horizont befinden (dies ist für das Funktionieren des Systems notwendig) und dass andererseits die Satelliten in unseren Breiten vorwiegend in südlicher Richtung stehen.

3. Funktionsprinzip: Entfernungsbestimmung durch Laufzeiten

Das Prinzip der Satellitennavigation ist recht einfach: Jeder Satellit sendet laufend ein Datenpaket aus, das u. a. die Sendezeit und die augenblickliche Position des Satelliten enthält. Der Empfänger auf der Erde bestimmt die Ankunftszeit des Signals. Aus der Laufzeit (zwischen 0,067 s und 0.086 s) ergibt sich dann die Entfernung zum Satelliten. Mit drei solcher Messungen zu verschiedenen Satelliten kann man die Position des Empfängers im Raum bestimmen. Vom jeweiligen Satelliten aus gesehen befindet sich der Empfänger nämlich auf der Oberfläche einer Kugel, deren Radius gerade über die Signallaufzeit bestimmt wurde. Zwei solcher Kugeloberflächen schneiden sich in einem Kreis, der wiederum die dritte Kugeloberfläche in zwei Punkten schneidet, von denen einer meist sofort ausgeschlossen werden kann.

So einfach liegen die Verhältnisse in Wirklichkeit jedoch nicht. Da die Signale mit Lichtgeschwindigkeit ( im Vakuum 299792,5 km/s) übertragen werden, sind die Anforderungen an die Genauigkeit enorm: Ein Laufzeitfehler von einer tausendstel Sekunde würde einen Distanzfehler von 300 km bewirken und damit das System unbrauchbar machen. Die erforderliche Präzision lässt sich nur mit Atomuhren erreichen. An Bord der Satelliten werden daher Cäsium- und Rubidiumatomuhren verwendet, die regelmäßig von fünf Bodenstationen kontrolliert und nachgeregelt werden. Aber selbst diese Genauigkeit reicht noch nicht aus.

Ohne Berücksichtigung der Relativitätstheorie würde das Verfahren versagen. Da sich die GPS-Satelliten mit einer Geschwindigkeit von 3,9 km/s bewegen, erscheint die Zeit an Bord der Satelliten gedehnt. Dieser Effekt der Speziellen Relativitätstheorie ist auch als Zwillingsparadoxon bekannt: Ein Astronaut, der von einer Weltraumreise zurückkehrt, ist jünger als sein auf der Erde verbliebener Zwillingsbruder.

Dieser Effekt wird jedoch mehr als ausgeglichen durch den Einfluss der Allgemeinen Relativitätstheorie: Der Gang einer Uhr erfolgt nämlich umso langsamer, je größer das Gravitationspotential am Ort der Uhr ist. Die Uhren am Erdboden gehen also langsamer als die in den Satelliten. Deshalb werden die Atomuhren in den Satelliten verlangsamt und auf eine etwas niedrigere Grundfrequenz eingestellt.

Prinzipiell benötigt man im Empfänger die gleiche Genauigkeit; allerdings wird man i. d. R. dort keine Atomuhr zur Verfügung haben. Man muss daher ein Verfahren ersinnen, das den Uhrenfehler des Empfängers eliminiert.

4. Positionsbestimmung

Die Positionen der Satelliten werden in einem kartesischen Koordinatensystem angegeben, dessen Ursprung der Erdmittelpunkt ist, dessen x-Achse in der Äquatorebene liegt und zum Nullmeridian zeigt und dessen z-Achse zum Nordpol zeigt. Die y-Achse liegt dann ebenfalls in der Äquatorebene und zeigt nach Osten (Earth Centered Earth Fixed Coordinate System).

Befindet sich ein Satellit bzgl. dieses Koordinatensystems auf der Position (x0, y0, z0) und ist seine Entfernung zum Beobachter B (Empfänger) gleich r0, so hat die zugehörige Kugeloberfläche, auf der sich der Beobachter aufhält, die Gleichung

(x-x0)2 + (y-y0)2 +(z-z0)2 = r02

Durch den Fehler der Empfängeruhr wird nun ein zu kleiner oder zu großer Radius r0 vorgetäuscht: Geht die Empfängeruhr z. B. nach, wird eine zu kleine Laufzeit und damit eine zu kleine Entfernung vom Satelliten angenommen, die aber für alle Satelliten gleich ist. Bezeichnet man den Distanzfehler mit D und befindet sich der Beobachter auf der Position

(xB, yB, zB), so gilt:

(xB-x0)2 + (yB-y0)2 +(zB-z0)2 = (r0+D )2

In dieser Gleichung kommen die vier Unbekannten xB, yB, zB (die Position des Beobachters) und der durch den Uhrenfehler verursachte Distanzfehler D vor. Lassen sich nun vier Satelliten beobachten, so liegt ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen {k1, k2, k3, k4} und vier Unbekannten vor, das eindeutig lösbar ist.

I. d. R. stehen aber mehr als vier Satelliten zur Beobachtung zur Verfügung. Dann ist das Gleichungssystem überbestimmt und hat i. allg. keine Lösung. Deshalb sucht man einen Punkt, der alle Gleichungen möglichst gut erfüllt. Dazu kann man von einer geschätzten Position des Beobachters ausgehen, z. B. von der letzten ermittelten Position und dem Uhrenfehler 0, und das Newtonsche Näherungsverfahren für mehrere Veränderliche anwenden.

Da das Newtonsche Näherungsverfahren für mehrere Veränderliche in der Schule nicht zur Verfügung steht, wird man zu einem didaktisch reduzierten Verfahren greifen und etwa wie folgt vorgehen (zunächst ohne Berücksichtigung des Uhrenfehlers):
Liegen wie oben die Gleichungen {k1, k2, k3, k4} für vier Satelliten vor, so liefern die Subtraktionen k1-k2, k2-k3, k3-k4 jeweils eine Gleichung der Ebene, in welcher der Schnittkreis der beiden Kugeloberflächen liegt. Diese drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt, der eine Näherungslösung für die gesuchte Position des Beobachters ist.

Man beachte, dass das Gleichungssystem {k1, k2, k3, k4} überbestimmt ist und daher i. allg. keine Lösung besitzt, da die Messungen grundsätzlich fehlerbehaftet sind.

Stehen fünf Satelliten zur Verfügung, so kann man mit diesem Verfahren auch den Uhrenfehler berücksichtigen. Man erhält dann ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten.

Besonders einfach wird das Verfahren, wenn man weiß, dass man sich auf der Erdoberfläche (z. B. auf dem Meer) befindet. Dann kommt man mit drei Satelliten aus und kann als weitere Gleichung die Gleichung der Erdoberfläche heranziehen:

x2+y2+z2 = (3671 km)2

 

Literatur

Haubrock, D.: GPS in der analytischen Geometrie. ISTRON - Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht, Band 6. Franzbecker, Hildesheim 2000

Höh, R.: GPS Outdoor-Navigation. Reise Know-How Verlag Peter Rump GmbH, Bielefeld 2000

Hofmann-Wellenhof, B.; Lichtenegger, H.; Collins, J.: Global Positioning System – Theory and Practice, 4. Auflage, Springer-Verlag, Wien / New York 1997

Janßen, M. Navigation – Gestern und heute. Der Mathematikunetrricht 2/2000

Kaplan, E.D.: Understanding GPS. Principles and Applications. Artech House. Boston, London 1996

Kumm, W.: GPS Global Positioning System, 5.Auflage, Klasing Verlag, Bielefeld 1998

Laussermayer, R.: Global Positioning System (GPS) – ein Rechenbeispiel. PM Praxis der Mathematik, Heft 3, 1997

Nord, G.; Jabon, D.; Nord, J.: The Global Positioning System and the Implicit Function Theorem. Siam Rev. vol 40, No. 3, 1998

Schänzer,G.: Navigation mit Satelliten und Atomuhren. Frankfurter Allgemeine Zeitung vom 06.10.1999

Strang, G.: Die Mathematik hinter der Satellitennavigation. Überblicke Mathematik 1998

Weiß, S.; Diethelm, K.: Das Grundprinzip des Global Positioning Systems. TI-Nachrichten 1/2001 und 2/2001